はなし約二分の一

何か干渉する部分を消す

テーマ

初学者と見る町田・並木理論*1

内容は保証しません。

1. 準備
2. 計算
3. 特殊な仮定
4. まとめ

1. 準備

運動量として、 $p_{a}$ と $p_{b}$ を取るような粒子について、

$| \psi \rangle = | a \rangle + | b \rangle$

みたいな状態を用意する。

で、磁場やら何やらをかけて、これら2つの状態を分け、その先に検出器を置いておく。

つまり、

こんな感じ。

検出器Aは、

という感じになっていて、幅 $D_a$ で、目盛りが $X_{0a}$ を指している車が検出器として置かれている。ここに粒子が衝突すると、

というように、粒子は逆向きに運動量 $p_a$ ではじき返され、車は運動量を得て動く。この車の運動を観察することで、粒子の運動量を観測することが出来る。

（検出器Bも同じような感じになっている）

※なお、 $D_a$ と $X_{0a}$ は、ミクロ的な変数とする。

2. 計算

ひとまず、検出器Aの方を計算してみる。

車の中心から粒子までの距離を $r$ とし、運動量 $p_a$ は $p_a = \hbar k_a$ で書き換えておく。

$r = D_a / 2$ の地点で、波動関数が全部反射されることになるため、波動関数には

$\phi (r, k) = e^{i k r} - e^{- i k D_a} e ^{- i k r}$

のような要素が含まれているはずである*2。

で、反射前と反射後を比べると、

反射前が $k = k_a$

反射後が $k = -k_a$

みたいな感じになるため、それぞれ代入して比較すると、だいたい $(-e^{-ik_a D_a})$ 倍になっていることが分かる。

なんかこう、 $\langle -k | S | k \rangle = -e^{-ik D_a}$ 的な？*3

なので（？）、反射前後の状態の変化を変数 $k''$ で展開したようなヤツは、

$\int (-e^{-ik'' D_a}) | -k'' \rangle \langle k'' | \tilde{k_a}, r\rangle dk''$

みたいな形をするような気がする*4。

ここで、とあるマクロ変数 $d$ を入れて、

$0 = (k'' - k_a)(D_a - d)-(k'' - k_a)(D_a - d)$

という恒等式が作れる。

ここから、適当に移項を行って

$k''D_a = k'' d + k_a(D_a-d)+(k'' - k_a) (D_a - d)$

とできる。実際のところ、 $k'' - k_a \sim 0$ となっているはずなので、

$k''D_a \fallingdotseq k'' d + k_a(D_a-d)$

ここに出てくる $d$ は、車をマクロから見たときの長さとする。

ミクロ的な変数 $D_a$ とマクロ的な変数 $d$ を考慮することが重要らしい。

で、さっきの式に放り込んで、

$\int (-e^{-ik_a(D_a-d)}) | -k'' \rangle e^{-ik''d} \langle k'' | \tilde{k_a}, r\rangle dk''$

なんか計算をすると*5、

$(-e^{-ik_a(D_a-d)})| \tilde{-k_a}, r\rangle$

となる。

たぶん、検出器Bも似たような感じになる。

で、密度行列の干渉に関わる箇所を計算しようとすると、

$e^{ik_a(D_a-d)}$

という項が出てくることになる。

3. 特殊な仮定

先ほど、ミクロ的な変数 $D_a$ とマクロ的な変数 $d$ を用意したが、

現実の測定では，マクロ的尺度の上で行われるのだ．マクロ的尺度上の点はミクロ的には（原子サイズよりも）かなり大きな領域を覆っている．したがって、マクロ的測定によってマクロ的尺度上で測る厚さ $d$ と指針位置 $X$ は，上記の $D$ と $X_0$ そのものではなく， $D$ と $X_0$ をそれぞれ‘ある幅’ $\delta D$ と $\delta X$ で平均したものでなければならない．

（量子力学における観測理論Ⅱ p.40）

という訳で、 $D$ と $d$ のブレる割合を与える関数 $W(D-d)$ を導入して、

$W$ を掛けて、 $D$ で積分するという操作

をすることで平均を行うことが出来るはず。

さっきの式でそれを行うと、

$\int_{-\infty}^{\infty}(W(D_a - d) e^{ik_a(D_a-d)})dD_a$

という要素を含むと言える*6。

ここで、 $k_a$ がすごく大きいとする。

もっと言うと、 $k_a \rightarrow \infty$ と見做せるとすると、

$\int_{-\infty}^{\infty}(W(D_a - d) e^{ik_a(D_a-d)})dD_a \rightarrow 0$

となる（リーマン・ルベーグの補題）。

ということで、この仮定のもとでは干渉に関わる箇所が消えることが示せる。

4. まとめ

...計算あってる？

*1:町田茂・並木美喜雄 (1980)「量子力学における観測理論」『科学』Vol.50, No.12, pp.769-767

町田茂・並木美喜雄 (1981)「量子力学における観測理論」『科学』Vol.51, No.1, pp.36-45

Shigeru Machida, Mikio Namiki (1980) "Theory of Measurement of Quantum Mechanics: Mechanism of Reduction of Wave Packet. I", Progress of Theoretical Physics, Vol.63, Issue 5, pp.1457-1473

*2: $\phi (D_a/2, k) = 0$ とならないと、粒子が跳ね返らずに箱の中に侵入してきてしまうため

*3:理解していない

*4:正しいものと形が違うのは、私が理解していないためです

*5:なんか積分記号と $e^{-ik''d}$ があるので、たぶんδ関数あたりを経由するんじゃないかと思ったんだけど、自信がない

*6:のか？