波動関数っぽいものにたどり着く

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雰囲気で波動関数っぽいものを導くっぽいことをやる。

とてつもなくふわっとしたことをします。

$\hat{\psi} (x, t) = \displaystyle\sum_n \lbrack \hat{a}_n e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x) + \hat{a}_n^\dagger e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi^{*} (x) \rbrack$

と書けることにする。

$n$ がエネルギー準位みたいなものに関わっているとする。

1粒子状態は、生成演算子1つを真空に作用させたものなので、

$| 1粒子状態 \rangle = \displaystyle\sum_m c_m \hat{a}_m^\dagger | 真空 \rangle$

みたいな形になるはず。

位置 $x$ と $t$ に粒子を生成する状態は、

$|x, t \rangle = \hat{\psi^\dagger} (x, t) | 真空 \rangle$

くらいに書ける。

...と思う*1。

波動関数は、 $\langle x, t | 1粒子状態 \rangle$ で求められるため、

$\langle x, t | 1粒子状態 \rangle = \langle 真空 | \hat{\psi} (x, t) \displaystyle\sum_m c_m \hat{a}_m^\dagger | 真空 \rangle$

$=(\langle 真空| \displaystyle\sum_n \lbrack \hat{a}_n e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x) + \hat{a}_n^\dagger e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi^{*} (x) \rbrack)(\displaystyle\sum_m c_m \hat{a}_m^\dagger | 真空 \rangle)$

$= (\langle 真空| \displaystyle\sum_n \lbrack \hat{a}_n e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x) \rbrack)(\displaystyle\sum_m c_m \hat{a}_m^\dagger | 真空 \rangle)$

で、 $\hat{a}_m^\dagger | 真空 \rangle = |m \rangle$ と書くことにすると、

$\langle x, t | 1粒子状態 \rangle = (\displaystyle\sum_n \langle n | e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x)) (\displaystyle\sum_m c_m | m \rangle)$

となる。で、 $n \neq m$ のとき $\langle n | m \rangle = 0$ と考えると*2、 $n \neq m$ となる項が全部消えることから、

$\langle x, t | 1粒子状態 \rangle = \displaystyle\sum_n ( \langle n | e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x) c_n | n \rangle)$

$= \displaystyle\sum_n ( e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x) c_n \langle n | n \rangle)$

$= \displaystyle\sum_n ( c_ne^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi (x) )$

というわけで、時間に依存しないヤツを解いたときっぽい形にたどり着いた。

おめでとう。

おわり

*1:真空に消滅演算子が作用すると消えるので、どうせ

$\hat{\psi^\dagger} (x, t) | 真空 \rangle = \displaystyle\sum_n \lbrack \hat{a}_n^\dagger e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi^{*} (x) + \hat{a}_n e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi(x) \rbrack | 真空\rangle$

$= \displaystyle\sum_n \hat{a}_n^\dagger e^{\frac{i E_n t}{\hbar}} \phi^{*} (x) | 真空\rangle$

となるはずなので、うまく1粒子状態になるのだと思う。たぶん。

*2:本来は生成消滅演算子の性質からちゃんと導くやつ