単振り子、2段目 - はなし約二分の一

単振り子の2段目の解を求める。

参照元

www.jstage.jst.go.jp

1. 単振り子を摂動で解く
2. くりこむ
3. くりこんだ式で方程式を作る
4. 感想

1. 単振り子を摂動で解く

単振り子と言えば、調和振動の例として出てくるイメージがある。そのときは、

$\sin \theta \simeq \theta$

として解いていた。ここでは、もう一歩先の、

$\sin \theta \simeq \theta - \dfrac{1}{6} \theta^3$

について考える。

これについては、同連載の

www.jstage.jst.go.jp

を元にしている。

運動方程式は、

$m L \ddot{\theta} = - m g \sin \theta$ であるので、

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}$ とおくと、

$\ddot{\theta} = {\omega_0}^2 \sin \theta$ となる。

$\sin \theta$ を展開することを考えると、

$\ddot{\theta} \simeq {\omega_0}^2 (\theta - \dfrac{1}{6}\theta^3)$

と書ける。*1

ここで、初期開き角として、 $\theta_0$ （＋速度 0 ）を想定して、

$\theta(t) = \theta_0 x(t)$

のように書くことにすると、運動方程式は、

$\ddot{x} \simeq {\omega_0}^2 (x - \dfrac{1}{6} {\theta_0}^2 x^3) \quad (1)$

と変形できる。

$\sin$ の第2項までの近似なので、（第1項のみを用いて近似したときほどではないが）それでも初期開き角 $\theta_0$ は十分小さい
･･･という問題設定のはずである。

なので、 ${\theta_0}^2$ で摂動展開ができるはずである。ということで、解 $x(t)$ を、

$x(t) \simeq x_0(t) + {\theta_0}^2 x_1(t) + ...$

と展開し、第2項までを取り出して用いる。*2

これを(1)に放り込み、 ${\theta_0}^3$ 以上の項を見なかったことにすると、

$\ddot{x_0} + {\theta_0}^2 \ddot{x_1} = - {\omega_0}^2 (x_0 + {\theta_0}^2 x_1 - \dfrac{1}{6}(x_0 + {\theta_0}^2) x_1)^3 + ...$

$(\ddot{x_0} + {\omega_0}^2 x_0) + {\theta_0}^2 (\ddot{x_1} + {\omega_0}^2 x_1 - \dfrac{1}{6} {\omega_0}^2 x_0^3) \simeq 0$

で、摂動法なので、

$\ddot{x_0} + {\omega_0}^2 x_0 = 0 \quad (2)$
$\ddot{x_1} + {\omega_0}^2 x_1- \dfrac{1}{6} {\omega_0}^2 x_0^3 = 0 \quad (3)$

となるはず。

(2)は、2つの積分定数 $A_0$ と $\Phi_0$ を用いて、

$x_0(t) = A_0 \cos (\omega_0 t + \Phi_0) \quad (4)$

のように書ける（一旦、「初期開き角が $\theta_0$ なので $x(0) = 1$ だ」ということはスルーする）。なので、これを(3)に放り込んで解くと、積分定数 $c_1$ と $c_2$ により、

$x_1(t) = \dfrac{1}{16} {A_0}^3 \omega_0 t \sin (\omega_0 t + \Phi_0) + \dfrac{1}{32} {A_0}^3 \cos (\omega_0 t + \Phi_0)$
$\quad - \dfrac{1}{192} {A_0}^3 \cos (3(\omega_0 t + \Phi_0)) + c_1 \sin (\omega_0 t) + c_2 \cos (\omega_0 t)$

という形になる。*3

ここで、解の挙動に重要なところだけを残して、他を適当に $\alpha$ とかにしてしまうと、

$x_1 (t) = \dfrac{1}{16} {A_0}^3 \omega_0 t \sin (\omega_0 t + \Phi_0) + \alpha \quad (5)$

とできる。ちなみに、適当な定数 $T$ を用いて、

$x_1 (t) = \dfrac{1}{16} {A_0}^3 \omega_0 (t-T) \sin (\omega_0 t + \Phi_0) + \alpha \quad (6)$

としても、 $\alpha$ の中身を考えると、たぶん解になっている（はず）。

(4)と(5)より、

$x(t) \simeq A_0 \cos (\omega_0 t + \Phi_0) + \dfrac{{\theta_0}^2 }{16} {A_0}^3 \omega_0 t \sin (\omega_0 t + \Phi_0) + O({\theta_0}^2) \quad (7)$

となるはずだが、この式は、第2項の $t$ のせいで物理的にあり得ないことになってしまう（時間とともに振れ幅が大きくなっていく）。

これをどうにかしようというのが、テーマになる。

2. くりこむ

例えば、次のように考えてみる。*4

「振り子を揺らす実験をスタートしてから、しばらくの間目をつぶっておく。しばらく時間が経過してから目を開けて振り子を観察してみる」

このとき、振り子はどのように見えるだろうか。

目を開けた瞬間から短い時間の間は、ほぼ $x(t) \simeq A \cos (\omega_0 t + B)$ で記述できるような運動をしているのではないだろうか。*5

したがって、目を開けたタイミングを $\tau$ とすると、 $\tau$ の近くでは、目を開けたときの振り子の振幅や速度に応じた（つまり、 $\tau$ に依存するような）、 $A(\tau)$ と $\Phi (\tau)$ によって、

$x(t) \simeq A(\tau) \cos (\omega_0 t + \Phi (\tau)) \quad (8)$

で書けるような運動をしていたと考えられる。

次に、その他の時間帯も扱うために、摂動解を考慮に入れてみる。このときには、

$x_0 (t) = A(\tau) \cos (\omega_0 t + \Phi (\tau))$

として、 $x_1(t)$ については、 $t = \tau$ のときに(8)になるようにしないといけないことから、(6)式の方をチョイスして、

$x_1(t) \simeq \dfrac{1}{16} {A(\tau)}^3 \omega_0 (t-\tau) \sin (\omega_0 t + \Phi(\tau)) + \alpha$

とする。つまり、

$x(t) = A(\tau) \cos (\omega_0 t + \Phi (\tau)) + \dfrac{{\theta_0}^2}{16} {A(\tau)}^3 \omega_0 (t-\tau) \sin (\omega_0 t + \Phi(\tau)) + O({\theta_0}^2) \quad (9)$

となる。

ということで、無限に大きくなるはずの第2項の $t$ をくりこめそうな式に、しれっとたどり着いた。

3. くりこんだ式で方程式を作る

(9)式は、「 $t=\tau$ に実験者が目を開けたとき」の数式だったが、実験者がいつ目を開けようが、別に振り子の運動に影響は無いはずではないだろうか。例えば、 $t=\tau + \mathit{\Delta} \tau$ に目を開けた、つまり、

$x(t) = A(\tau+ \mathit{\Delta} \tau) \cos (\omega_0 t + \Phi (\tau+ \mathit{\Delta} \tau))$

$\quad + \dfrac{{\theta_0}^2}{16} {A(\tau+ \mathit{\Delta} \tau)}^3 \omega_0 (t-(\tau+ \mathit{\Delta} \tau)) \sin (\omega_0 t + \Phi(\tau+ \mathit{\Delta} \tau)) + O({\theta_0}^2) \quad (10)$

としても、物理現象としては変わらないのではないだろうか。

ということで、 $x(t)$ を明示的に $x(t, \tau)$ と書いてみる。このとき、

$x(t, \tau) = x(t, \tau+ \mathit{\Delta} \tau)$

が成り立っているに違いない

･･･ということが言える。

参照元ではここから直にくりこみ群方程式に向かうが、一旦脇道に逸れます。*6

まぁだいたい次の式は成り立っているはず。

$f(x + \mathit{\Delta} x) \simeq f(x) + \mathit{\Delta} x \dfrac{df}{dx}$

ここで、 $f(x) = f(x+\mathit{\Delta} x)$ とすると、

$\dfrac{df}{dx} = 0$

となるので、 $f(x)$ の値に $x$ は別に関わっていないときにはこの式が成り立つんだと思う。*7

･･･と言うわけで、話をもとに戻すと、物理現象の性質を考えるなら、 $x(t, \tau)$ の値に $\tau$ は別に関わっていないはず。なので、 $x(t, \tau) = x(t, \tau+ \mathit{\Delta} \tau)$ を介して、

$\dfrac{\partial x}{\partial \tau} = 0$

となっていると考えられる。

参照元にあるように、 $\sin(\omega_0 t + \Phi (\tau))$ と $\cos (\omega_0 t + \Phi (\tau))$ にまとめると、*8

$\dfrac{dA}{d \tau} + \dfrac{{\theta_0}^2 \omega_0}{16} A^3 (t-\tau) \dfrac{d \Phi}{d \tau} \simeq 0 \quad (11)$
$-\dfrac{d \Phi}{d \tau} + \dfrac{{\theta_0}^2 \omega_0}{16} (3A \dfrac{dA}{d \tau} - A^2) \simeq 0 \quad (12)$

(12)より $\frac{d \Phi}{d \tau}$ は、だいたい $O({\theta_0}^2)$ くらいの関数のはずなので、(11)にその情報を入れると、 $\frac{d A}{d \tau}$ は $O({\theta_0}^4)$ くらいのオーダーになっていることが分かる。さすがに $O({\theta_0}^4)$ は小さすぎるのでスルーすることにしてしまうと、積分定数 $C_0$ により、