借金は考えない - はなし約二分の一

なんか効用関数っぽいものから、所得の再配分ぽいものを導いてみる。

1. 前提
2. 計算
3. まとめ

1. 前提

1-1. 価値関数

ネタ元

ja.wikipedia.org

今回は、プロスペクト理論に出てくる価値関数っぽい関数として、以下のような関数を考える。

$v(x) = \begin{cases} x^{1/2} \quad (x \geq 0 のとき) \\ -2 (|x|)^{1/2} \quad (x \lt 0 のとき) \end{cases}$

（ $\alpha$ も $\beta$ も $1/2$ として、 $\lambda$ を $2$ とした式）

1-2. 参照点の依存性と比率

で、感応度逓減性について調べていたが、以下のパターンについてどうなっているのかが分からなかった。

(1) 初期状態で 1万円を持っている。
　ここから「1000円をもらった場合と2000円もらった場合の価値の差」と、「10万1000円もらった場合と10万2000円もらった場合の価値の差」を比較する。

(2) 「初期状態で1万円もっている人が、そこから1000円もらった場合と2000円もらったときに得られる価値の差」と「初期状態で11万円もっている人が、そこから1000円もらった場合と2000円もらったときに得られる価値の差」を比較する。

上の数式って、(1)の状況の説明としては適切に働くと思う*1けど、(2)の状況の場合はどう扱えばいいのだろうか*2。

今回考えたいのは、「高収入を確保している人から、所得税を取る」・「低収入しか確保していない人へ分配を行う」という状況になるので、(2)になるはずである。

･･･という訳で、本当は定数部分の異なった数式を2つ用意するのが正しいんだろうなと薄々思いつつ、xとして入力する値を規格化してしまうことにする。つまり、月収なり年収なりの本人が確保したと感じる収入を $M$ 、そこからの変位を $\varDelta m$ とするときに、

$x = \dfrac{\varDelta m} {M}$

と書いてしまう。

したがって、低収入側の収入を $M_A$ 、高収入側の収入を $M_B$ とするとき、A側の価値 $v_A$ と、B側の価値 $v_B$ は、

$v_A(\small{\varDelta m}) = (\dfrac{\varDelta m}{M_A})^{1/2}$

$v_B(\small{\varDelta m}) = -2(\dfrac{\varDelta m}{M_B})^{1/2}$

という形になる。

1-3. 現金の定義域

今回は、現金１点モデルで勝負をしていくことにする。が、その際に考えなければならないことがある。

現金は、マイナスにならない！

借金は？という話ももちろんあるが、例えば「４０年ローンの家を買った家庭で、月収〇〇万円の収入を確保している」という状況や、「新規事業を行うために銀行から〇〇万円融資された。売り上げは好調だ」という状況を考え出す*3と、価値関数との関係が分からなくなってくる。さらに、このパターンのどちらも、借金をしている人はある程度の現金を保持しているはずである。

･･･と言うわけで、借金を考え出すと、固定資産＋流動資産の2変数でモデリングをしなければならなくなってしまいそうな予感がする。なので、今回は思い切って、

諦めます！

今回のモデルでは、現金１点突破型のモデルとする。

なので、金額は0円を下回らないものと考えてよいという話になる*4。

以上をまとめると、

$0 \lt M_A \ll M_B$