極座標を使うことはあるけど、極座標を直交座標で表したことがなかったなと思ったので。
1. 直交座標と極座標の変換
お題の図
とりあえず、これを図１とする。
普通の直交座標に、
で線を引き、それによってできた四角形に色を付けてみたものである。
のような極座標を使うと、
となる。一応これを図２としておく。*1
そういえば、大文字のと
による直交座標と思って書くとどう見えるだろうか。
･･･と言うわけで、最初に挙げた図１を大文字のと
で書いてみたものが
こんな図。これを図３とする。
図１を変形したものなので、シアン（水色）の線が元の直交座標における、ライム（黄緑色）の線が
である。元々直交していたラインが歪んだことによって、四角形も変形している。
しかし、図２と図３は、書き方が違うだけで、同じ極座標だったはずである。さらに、図１と図２は、座標変換しただけでなので、同じものを表している。
ということは、図１・図２・図３の四角形は、ある意味「同じ」ものと言える。
2. 別な座標で書いてみる
同じように、図１を別な座標で書いて、直交座標に直してみる。つまり、上で言うと、極座標以外のパターンで図３に当たる図を作ってみる。
これを図４とする。
図４は、ローレンツ変換（の逆変換？*2）をベースに作成したものである。
たぶんとしたときのグラフになっているんじゃないかと思うけど、自信が無い。
これを図５とする。
図５は、リンドラー座標（の逆変換？*3）をベースに作成したものである。
リンドラー座標はよりも上の部分を覆うことができないため、図１の左上の角
が図示できない。
これを図６とする。
図６は、クルスカル座標をベースに作成したものである。
が左上の双曲線、
が右側の双曲線となっている。*4
で、は、一番左の直線（傾きが急なヤツ）と一番右の直線（傾きが緩いヤツ）の二直線に分裂している。同様に、
は、左から二番目、右から二番目の直線に対応する。
ということで、四角形は、原点付近に伸びて千切れるような意味の分からない見た目になる。
おわり
